Kinematika
předchozí - Obsah - další
Úvodní pojmy - Mechanický princip - Galileiho transformace - Michelsonův pokus - Postuláty - Relativnost současnosti - Dilatace času - Podélný Dopplerův jev - Příčný Dopplerův jev - Hodiny v letadle - Mezony pí - Kontrakce délky - Transformace - Skládání rychlostí

Lorentzova transformace

Víme již, že Galileo Galilei odvodil transformační vztahy mezi souřadnicemi x, y, z, t události U v inerciální soustavě K a souřadnicemi , , , této události v soustavě K ´. Tato transformace je založena na předpokladech o absolutnosti času (t = t´) a absolutnosti délek (l = l´). Oba předpoklady jsou přibližně správné, avšak jen pro rychlosti mnohem menší než rychlost světla c. Proto ve speciální teorii relativity nahrazujeme Galileiho transformaci obecnějšími rovnicemi, tzv. Lorentzovou transformací.


V inerciální soustavě K ´ zvolíme bod ve vzdálenosti l´= x´od počátku (viz obr.). Úsečka O´N´ o vlastní délce se vzhledem k soustavě K pohybuje rychlostí v a její délku l v soustavě K určíme jako vzdálenost současných poloh obou jejích koncových bodů: l = x - vt, kde x je souřadnice bodu v čase t a vt je souřadnice bodu v témže okamžiku. Při libovolných rychlostech v < c platí relativistický vztah pro kontrakci délek

\begin{displaymath}l = l_{0} \sqrt { 1 - \frac {v^{2}}{c^{2}} }. \end{displaymath}

Po dosazení za l a tak dostáváme

\begin{displaymath}x - vt = x' \sqrt{ 1 - \frac {v^{2}}{c^{2}} } \end{displaymath}

a po úpravě již vztah pro transformaci souřadnice x

\begin{displaymath}x' = \frac { x - vt }{ \sqrt{ 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} } } = \gamma (x - vt). \end{displaymath}

Samozřejmě pro $v \ll c$ je $(\frac{v^2}{c^2}) \ll 1$ a platí $x' \approx x - vt$, tzn. vztah Lorentzovy transformace přechází ve vztah Galileiho transformace.

Vyjdeme-li opět z předchozí situace znázorněné na obrázku a uvažujeme-li úsečky rovnoběžné s osami , , jsou tyto kolmé ke směru pohybu vztažné soustavy K ´ a kontrakce délek zde tedy nenastává. Proto pro transformaci souřadnic , platí ve speciální teorii relativity stejné rovnice jako v Galileově transformaci y´= y a z´= z.

Při odvození vztahu pro časovou souřadnici vyjdeme z principu konstantní rychlosti světla. Předpokládáme, že v čase t = t´= 0, ve kterém se souřadnicové osy obou soustav kryjí, vyšle pozorovatel v soustavě K světelný signál v kladném směru osy x. Za dobu t dospěje světlo do bodu o souřadnici x = ct. Tato událost má v soustavě K souřadnice x a t. V soustavě K ´ urazí světlo dráhu x´= ct´ a tato událost bude mít souřadnice a . Z obou uvedených rovnic a ze vztahu pro transformaci souřadnice x dostáváme

\begin{displaymath}t' = \frac {x'}{c} = \frac { x - vt }{ c\sqrt { 1 - \frac {v^...
...{x}{c} - \frac {vt}{c^2}c }{ \sqrt { 1 - \frac {v^2}{c^2} } }, \end{displaymath}

a po úpravě

\begin{displaymath}t' = \frac { t - \frac {v}{c^2}x }{ \sqrt { 1 - \frac {v^2}{c^2} } } = \gamma \biggl(t - \frac {v}{c^2}x
\biggr). \end{displaymath}

Tato rovnice se nazývá Lorentzův vztah pro transformaci času . Pro $v \ll c$ lze zanedbat výraz $\frac{v^2}{c^2}$ vzhledem k číslu 1 a výraz $(\frac{v}{c^2})x$ vzhledem k t, čímž dostáváme $t' \approx t$. To je opět výraz odpovídající Galileově transformaci.

Lorentzova transformace

\begin{displaymath}x' = \gamma (x - vt), y' = y, z' = z, t' = \gamma \biggl(t - \frac {v}{c^2}x \biggr) \end{displaymath}

má ve speciální teorii relativity základní význam. S její pomocí můžeme určit souřadnice , , a určité události U v inerciální soustavě K ´, známe-li její souřadnice x, y, z, t v inerciální soustavě K. Podle principu relativity musí Lorentzova transformace platit pro přechod mezi dvěma libovolnými inerciálními vztažnými soustavami za předpokladu, že To znamená, že musí také platit pro obrácený přechod od soustavy K ´ k soustavě K. V tomto případě se však soustava K pohybuje vzhledem k soustavě K ´ rychlostí -v, a proto musíme Lorentzovu transformaci pro tento případ patřičně upravit

\begin{displaymath}x = \gamma (x' + vt), y = y', z = z', t = \gamma \biggl(t' + \frac {v}{c^2}x' \biggr). \end{displaymath}

Pro rychlosti v mnohem menší než je rychlost světla ve vakuu c samozřejmě celá Lorentzova transformace přechází v transformaci Galileovu, jejíž důsledky můžeme při těchto rychlostech považovat za správné i z pohledu speciální teorie relativity.

Z transformačního vztahu pro časovou souřadnici lze také odvodit relativnost současnosti dvou nesoumístných událostí, neboť tento výraz v sobě obsahuje i souřadnici x. Při výpočtu časové souřadnice musíme tedy znát nejen čas t, ale i x-ovou souřadnici místa, v němž se tato událost odehrála. Událostem, které nastaly ve stejném čase t ve dvou odlišných bodech např. na ose x soustavy K, proto odpovídají dvě různé časové souřadnice v soustavě K ´. Podobně lze z transformačních rovnic odvozovat i další důsledky, které jsme si již odvodili. Při tomto postupu se Lorentzova transformace odvodí ihned po formulaci základních principů podobně jako to učinil sám A. Einstein.

Příklady k lepšímu pochopení - Příklady k procvičení

Začátek stránky
předchozí - Obsah - další
Úvodní pojmy - Mechanický princip - Galileiho transformace - Michelsonův pokus - Postuláty - Relativnost současnosti - Dilatace času - Podélný Dopplerův jev - Příčný Dopplerův jev - Hodiny v letadle - Mezony pí - Kontrakce délky - Transformace - Skládání rychlostí

Speciální teorie relativity, Jaroslav Joch © 2000