Příklady k pochopení
předchozí - Obsah - další
Příklady - k pochopení / k procvičení / řešení - Úvodní pojmy - Galileiho transformace - Michelsonův pokus - Postuláty - Relativnost současnosti - Dilatace času - Kontrakce délky - Lorentzova transformace - Skládání rychlostí - Dynamika

Lorentzova transformace

1. V čase t´= 2,0.10-5 s od okamžiku, kdy se souřadnicové osy inerciálních soustav K a K ´ ztotožnily, vznikla v bodu o souřadnicích x´= 2,4.103 m, y´= 15 m a z´= 30 m jiskra. Jaké jsou souřadnice této události v soustavě K, pohybuje-li se soustava K ´ vzhledem k soustavě K v kladném směru osy x rychlostí o velikosti v = 0,8c ?

Řešení
Pro rychlost v = 0,8c je Lorentzův koeficient g = 1,667. Dosazením do Lorentzovy transformace

\begin{displaymath}x' = \gamma (x - vt), y' = y, z' = z, t' = 
       \gamma \biggl(t - \frac {v}{c^2}x \biggr) \end{displaymath}

pak dostáváme x = 1,2.10 4 m, y = 15 m, z = 30 m a t = 4,4.10-5 s.


2. V inerciální soustavě K je podél osy x rozmístěno pět synchronizovaných hodin H1H5 ve stejných vzdálenostech l = 1 m od sebe, přitom prostřední hodiny jsou v počátku soustavy souřadnic K. Hodiny ukazují stejný čas t = 0 s. Jaký čas ukazují hodiny 15 rozmístěné podél osy inercialní soustavy K ´ tak, aby ležely proti hodinám v soustavě K? Předpokládáme, že soustava K ´ se pohybuje vzhledem k soustavě K v kladném směru osy x rychlostí v = 0,98c.

Řešení
Údaje hodin 15 vypočteme ze čtvrté rovnice Lorentzovy transformace, do níž dosadíme za čas t = 0 a za souřadnici x postupně x1 = -2l, x2 = -l, x3 = 0, x4 = l a x5 = 2l, Lorentzův koeficient $\gamma \doteq 5,025$. Po dosazení dostáváme

\begin{eqnarray*}t'_{1} & = & \gamma \frac{v}{c^{2}}2l = 3,28.10^{-8} s,\\
t'_......,\\t'_{5} & = & -\gamma \frac{v}{c^{2}}2l = -3,28.10^{-8} s.
\end{eqnarray*}


3. Na ose x inerciální soustavy K vznikly v bodech A a B dvě současné události U1 a U2. Jaký je časový interval D mezi těmito událostmi z hlediska pozorovatele v soustavě K ´, která se pohybuje vzhledem k soustavě K rychlostí v?

Řešení
Označme souřadnice obou událostí v soustavě K x1, t1 a x2, t2; v soustavě K ' x'1, t'1 a x'2, t'2. Z Lorentzovy transformace pak vyplývá

\begin{displaymath}\triangle t' = t'_{1} - t'_{2} = \gamma \biggl(t_{1} - \frac...
...ggl[ t_{1} - t_{2} + \frac{v}{c^{2}}
(x_{2} - x_{1}) \biggr]. \end{displaymath}

Poněvadž v soustavě K jsou obě události současné, je t1 = t2 a pro hledaný časový interval Dt´ dostáváme

\begin{displaymath}\triangle t' = \gamma \frac{v}{c^{2}}(x_{2} - x_{1}).\end{displaymath}

Z tohoto vztahu opět vyplývá, že dvě nesoumístné události ($x_{1} \neq x_{2}$), které jsou současné v soustavě K, nejsou současné v soustavě K ' ($\triangle t' \neq 0$). Jsou-li obě události v soustavě K současné a zároveň soumístné (x1 = x2), je podle tohoto vztahu Dt´ = 0 a obě události jsou pak současné i v soustavě K '.


4. V předcházejících kapitolách jsme viděli, že některé veličiny jsou relativní, tj. závisí na volbě inerciální vztažné soustavy. Dokažte pomocí Lorentzovy transformace, že veličina c2Dt2 - l2 kde Dt je časový interval mezi dvěma událostmi a l vzdálenost mezi body, v nichž tyto události nastaly, nezávisí na volbě inerciální vztažné soustavy.

Řešení
Předpokládejme, že událost U1 má v soustavě souřadnic K souřadnice x1, y1, z1, t1; událost U2 souřadnice x2, y2, z2, t2. Souřadnice těchto událostí v soustavě K ´ označme 1, 1, 1, 1 a 2, 2, 2, 2.
Označme dále v soustavě K Dx = x2 - x1, Dy = y2 - y1, Dz = z2 - z1, Dt = t2 - t1
a analogicky v soustavě K ´ D = 2 - 1, D = 2 - 1, D = 2 - 1, D = 2 - 1.
Máme dokázat, že

\begin{displaymath}c^{2} (\triangle t')^{2} - l'^{2} = c^{2} \triangle t^{2} - l^{2},\end{displaymath}

tj.
\begin{displaymath}c^{2} (\triangle t')^{2} - [(\triangle x')^{2} + (\triangle y...
...t^{2} - (\triangle x^{2} + \triangle y^{2} + \triangle z^{2}). \end{displaymath}

Poněvadž podle druhé a třetí rovnice Lorentzovy transformace je D = Dy a D = Dz, stačí dokázat, že

\begin{displaymath}c^{2}(\triangle t')^{2} - (\triangle x')^{2} = c^{2}\triangle t^{2} - \triangle x^{2}.\end{displaymath}

Z první a čtvrté rovnice Lorentzovy transformace vyplývá $\triangle t' = \frac{\triangle t - \frac{v}{c^{2}} \triangle x }{\sqrt{1 - \beta^{2}} }$ a $\triangle x' = \frac{\triangle x - v \triangle t}{\sqrt{1 - \beta^{2}} }$, a proto platí
\begin{displaymath}c^{2}(\triangle t')^{2} - (\triangle x')^{2} = c^{2}\frac{ \b...
...} - \frac{ (\triangle x - v \triangle t)^{2} }{ 1 - \beta^{2} }\end{displaymath}

a odtud po trochu zdlouhavější úpravě
\begin{displaymath}c^{2}(\triangle t')^{2} - (\triangle x')^{2} = c^{2}\triangle t^{2} - \triangle x^{2}.\end{displaymath}

Veličina s definovaná vztahem s2 = c2Dt 2 - l2, kde Dt je časový interval mezi dvěma událostmi a l vzdálenost mezi body, v nichž tyto události nastaly, se nazývá interval mezi uvažovanou dvojicí událostí. Z věty dokázané v tomto příkladu vyplývá, že interval mezi dvěma událostmi je invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci, neboli při přechodu mezi inerciálními soustavami pomocí Lorentzovy transformace nemění svoji hodnotu.


5. Rovnice kulové světelné vlnoplochy vyslané z počátku soustavy souřadnic K v čase t = 0 je x2 + y2 + z2 = (ct)2. Zjistěte, jaký bude tvar této vlnoplochy v soustavě K ´, pohybující se vzhledem k soustavě K stálou rychlostí v. Předpokládejme, že v čase t = t´ = 0 počátky obou soustav souřadnic K a K ´ splývají.

Řešení
Z rovnice x2 + y2 + z2 = (ct)2 vyplývá (ct)2 - (x2 + y2 + z2) = 0. Výraz (ct)2 - (x2 + y2 + z2) = (ct)2 - r2 je interval mezi vysíláním světelného paprsku z počátku soustavy souřadnic K v čase t = 0 (událost U1) a příchodem světelného paprsku do libovolného bodu povrchu světelné kulové vlnoplochy o poloměru r v čase t (událost U2). Z řešení předcházejícího příkladu vyplývá, že tento interval je invariantní, platí tedy

(ct)2 - (x2 + y2 + z2) = (ct ´ )2 - ( 2 + 2 + 2) = 0.

Z poslední rovnice dostáváme 2 + 2 + 2 = (ct ´ )2; v soustavě K ´ bude tedy světelná vlnoplocha opět kulová.


6. Vlastní doba života určité nestabilní částice je Dt0 = 10 ns. Určete dráhu l, kterou částice proletí od okamžiku svého vzniku do okamžiku rozpadu v laboratorní vztažné soustavě, ve které doba jejího života je Dt = 20 ns.

Řešení
Označme symbolem K ´ klidovou vztažnou soustavu částice a symbolem K laboratorní soustavu, vzhledem k níž se částice pohybuje. Druhá mocnina intervalu od vzniku do rozpadu částice je v soustavě K rovna: s2 = c2Dt 2 - l2, v soustavě K ´:
s´ 2 = c2Dt 02 - l´ 2 = c2Dt02 (dráha částice v její klidové soustavě K ´ je rovna nule). Z invariance intervalu pak vyplývá

\begin{displaymath}c^{2} \triangle t^{2} - l^{2} = c^{2} \triangle t_{0}^{2}\end{displaymath}
a odtud po úpravě dostáváme

\begin{displaymath}l = c\sqrt{\triangle t^{2} - \triangle t_{0}^{2}} = 3.10^{8}\sqrt{(20.10^{-9})^{2} - (10.10^{-9})^{2}} m
\doteq 5,2 m \end{displaymath}

Příklad lze řešit také pomocí vztahu pro dilataci času.


7. Dokažte, že časové pořadí událostí, mezi kterými je příčinná souvislost, je ve všech inerciálních soustavách stejné.

Řešení
Předpokládejme, že v inerciální soustavě K se odehrály dvě události U1 a U2, přičemž událost U1 je příčinou události U2 (např. výstřel ze zbraně a dopad střely do terče, apod.). Událost U1 (výstřel) má v soustavě K souřadnice x1, t1, událost U2 (dopad střely do terče) souřadnice x2, t2. Poněvadž událost U1 je příčinou události U2 a příčina nastává dříve než její důsledek, je t2 > t1. Máme dokázat, že v libovolné inerciální soustavě souřadnic K ´ platí pro časové souřadnice obou událostí 1 > 2.

Ze čtvrté rovnice Lorentzovy transformace vyplývá, že časový interval mezi oběma událostmi v soustavě K´ je

\begin{displaymath}t'_{2} - t'_{1} = \frac{t_{2} - t_{1} - \frac{v}{c^{2}}
(x_{2} - x_{1}) }{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} } }. \end{displaymath}

Ze vztahu pro rychlost střely vzhledem k soustavě K
\begin{displaymath}u = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}}\end{displaymath}

vyplývá x2 - x1 = u(t2 - t1) a po dosazení tohoto výrazu do první rovnice dostáváme

\begin{displaymath}t'_{2} - t'_{1} = \frac{t_{2} - t_{1} - \frac{v}{c^{2}}u(t_{2...
...frac{1 - \frac{vu}{c^{2}} }{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} } }. \end{displaymath}

Podle speciální teorie relativity se střela (ani žádný jiný objekt) nemůže pohybovat větší rychlostí, než je rychlost světla ve vakuu, platí tedy $u \leq c$. Z nerovností v < c a $u \leq c$ vyplývá $1 - \frac{vu}{c^{2}} > 0$ a poněvadž $\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} } > 0$ a podle předpokladu t2 - t1 > 0, dostáváme z poslední rovnice t'2 - t'1 > 0, tj. t'2 > t'1.


8. O speciální teorii relativity má zájem také širší veřejnost. Mnozí lidé se domnívají, že filosofickým důsledkem speciální teorie relativity je závěr, že "vše je relativní". Je tento názor správný?

Řešení
Vznik tohoto názoru je pravděpodobně ovlivněn termínem "teorie relativity" je to však názor nesprávný. Filozofický relativismus ze speciální teorie relativity nevyplývá a nemá s ní nic společného. Tvrzení, že vše je relativní, není však správné ani z hlediska fyzikálního. Speciální teorie relativity sice ukázala, že některé veličiny, považované klasickou fyzikou za absolutní, jsou ve skutečnosti relativní (např. časový interval nebo délka), na druhé straně však i v rámci speciální teorie relativity existují veličiny, které při přechodu od jedné inerciální soustavy k druhé nemění svou hodnotu (jsou invariantní). Invariantní je např. rychlost elektromagnetického vlnění (např. rychlost světla) ve vakuu, která je ve všech inerciálních vztažných soustavách stejná, o této veličině se klasická fyzika naopak domnívala, že je relativní. Ve speciální teorii relativity známe také některé další invariantní veličiny. Ze speciální teorie relativity však vyplývají některé obecnější závěry. Mezi nejdůležitější patří např. skutečnost, že teorie, která odporuje našim názorným představám a zdá se být ve sporu s tzv. "zdravým rozumem", může být ve skutečnosti správná. Einstein se zabýval rozporem mezi našimi vžitými názorovými představami a pravdivou skutečností také z psychologického hlediska a označil tzv. "zdravý rozum" za souhrn předsudků, které člověk získává o okolním světě zpravidla již v mladém věku. Pochopení Einsteinovy kritiky "zdravého rozumu" je velmi důležité, poněvadž není jen základem k pochopení teorie relativity, ale i celé moderní fyziky a astrofyziky.

Příklady k procvičení - Lorentzova transformace

Začátek stránky
předchozí - Obsah - další
Příklady - k pochopení / k procvičení / řešení - Úvodní pojmy - Galileiho transformace - Michelsonův pokus - Postuláty - Relativnost současnosti - Dilatace času - Kontrakce délky - Lorentzova transformace - Skládání rychlostí - Dynamika

Speciální teorie relativity, Jaroslav Joch © 2000