Příklady k pochopení
předchozí - Obsah - další
Příklady - k pochopení / k procvičení / řešení - Úvodní pojmy - Galileiho transformace - Michelsonův pokus - Postuláty - Relativnost současnosti - Dilatace času - Kontrakce délky - Lorentzova transformace - Skládání rychlostí - Dynamika

Úvodní pojmy

1. Železničář na konci rozjíždějícího se vlaku rozsvítí dvakrát za sebou na velmi krátkou dobu signální lampu. Vysvětlete, jak změří dobu, která uplyne mezi těmito záblesky, pozorovatel na trati, který používá k měření nepohyblivé hodiny vzhledem k Zemi.

Řešení
Pro pozorovatele ve vlaku nastávají oba záblesky na témže místě, a proto pro změření časového intervalu mezi nimi potřebuje tento pozorovatel jen jedny hodiny umístěné v místě záblesků. Pro pozorovatele na trati začíná děj v bodě A (první záblesk) a končí v bodě B (druhý záblesk). Pozorovatel na trati proto umístí do obou bodů synchronizované hodiny H1 a H2 . Na hodinách H1 je možné určit začátek děje, na hodinách H2 jeho konec. Rozdíl obou časových údajů delta t pak udává dobu trvání určitého děje, změřenou hodinami, které jsou vzhledem k Zemi v klidu.

2. Ve vlaku pohybujícím se vzhledem k Zemi rovnoměrně přímočaře konstantní rychlostí v leží ve směru pohybu tyč. Pozorovatel ve vlaku měřením zjistil, že tyč má délku l´. Vysvětlete, jak může změřit délku této tyče pozorovatel na trati, vzhledem k němuž se tyč pohybuje rychlostí v.

Řešení
Zvolíme soustavu K spojenou se Zemí a soustavu K ´ spojenou s vlakem. Tyč je vzhledem k soustavě K ´ v klidu a vzhledem k soustavě K se pohybuje rychlostí v.
Pozorovatel ve vlaku může změřit délku tyče l´ obvyklým způsobem, tj. porovnáním měřené tyče s délkovým normálem.
Pozorovatel na Zemi může změřit délku pohybující se tyče tak, že vyznačí na ose x okamžité polohy koncových bodů tyče, zjistí jejich souřadnice x1 a x2 a délku tyče l v soustavě souřadnic K vypočte pomocí vztahu v = x2 - x1. Přitom je však nutné, aby poloha koncových bodů tyče na ose x byla v soustavě K vyznačena současně. To lze realizovat např. pomocí synchronizovaných hodin rozmístěných podél osy x.

3. Auto záchranné služby vysílá při jízdě ulicemi města světelné signalizační záblesky. Jsou tyto záblesky soumístné události?

Řešení
Zvolíme-li za vztažnou soustavu Zemi, pak vzhledem k ní vznikají jednotlivé záblesky na různých místech. Zvolíme-li však jako vztažnou soustavu jedoucí auto záchranné služby, pak v této soustavě jsou všechny záblesky soumístné.

Z příkladu plyne, že bez udání vztažné soustavy nelze rozhodnout, zda určité události jsou či nejsou soumístné. Soumístnost událostí je tedy relativní pojem. Relativnost soumístnosti událostí je důsledkem relativnosti polohy bodu.

4. V klidné vodě jezera se pohybuje čtvercový vor o straně l0 konstantní rychlostí v (viz obrázek). Z bodu D vyplují současně dva plavci. První plave podél voru po dráze DZ1D, druhý po dráze DZ2D. Oba se pohybují stálou rychlostí c < v vzhledem k vodě. Který z obou plavců se vrátí do bodu D dříve?




Řešení
Příklad lze opět řešit v soustavě souřadnic spojené buď s vodou, nebo s vorem.

a) Zvolme nejdříve soustavu souřadnic K spojenou s klidnou vodou. Pro dobu t1, za kterou první plavec dopluje k bodu Z1 a vrátí se nazpět, můžeme psát t1 = T1 + T2 kde T1 je doba, během níž plavec pluje k bodu Z1, a T2 je doba, za kterou se vrátí nazpět. Za dobu T1 se bod Z1 posune o vT1 do polohy Z1´, takže plavec plující rovnoběžně s vektorem rychlosti v voru urazí za tuto dobu vzhledem k soustavě K dráhu cT1 = l0 + vT1. Plavec se potom vrací k bodu D, který se za dobu T2 posune o vT2 do polohy D0. Při návratu tedy urazí plavec vzhledem k soustavě K dráhu cT2 = l0 - vT2. Z obou vztahů určíme dobu t1:
\begin{displaymath}t_{1} = T_{1} + T_{2} = \frac { l_{0} }{ c - v } + \frac { ... ...rac {v^2}{c^2})} = \frac {2l_{0}}{c (1 - \frac {v^2}{c^2})}. \end{displaymath}

Druhý plavec plovoucí podél voru ve směru kolmém k vektoru rychlosti v k bodu Z2 urazí vzhledem k soustavě K dráhu DZ2´D´´. Tuto dráhu vykoná za dobu t2 = 2t0, kde t0 je doba, za kterou se plavec dostane z bodu D do bodu Z2´. Za dobu t0 se vor posune o dráhu vt0. Z pravoúhlého trojúhelníku DZ2´D´ pak dostáváme (viz obrázek)


(ct0)2 = l02 + (vt0)2

a tedy

\begin{displaymath}t_{0} = \frac { l_{0} }{ \sqrt {c^2 - v^2} } = \frac { l_{0} ... ...) } } = \frac { l_{0} }{c \sqrt {1 - \frac {v^2}{c^2} } } . \end{displaymath}

Hledaná doba je tedy určena výrazem
\begin{displaymath}t_{2} = 2t_{0} = \frac { 2l_{0} }{ c \sqrt {1 - \frac{v^2}{c^2} } }. \end{displaymath}

Protože podle předpokladu je v < c, je
\begin{displaymath}\sqrt { 1 - \frac {v^2}{c^2} } > \biggl(1 - \frac {v^2}{c^2} \biggr). \end{displaymath}

Odtud vyplývá t2 > t1. Plavec, který plave rovnoběžně se směrem rychlosti v voru, se vrátí do bodu D později než plavec, který plave kolmo k tomuto směru.

b) Řešme nyní tuto úlohu v soustavě souřadnic K ´ spojené s vorem (viz obrázek).


První plavec plave po dráze DZ1 rychlostí velikosti c - v (vzhledem k soustavě K ´ ), nazpět pak rychlostí o velikosti c + v. Dráhu DZ1D urazí tedy za dobu
\begin{displaymath}t_{1} = \frac { l_{0} }{ c - v } + \frac { l_{0} }{ c + v } = \frac {2l_{0}}{c (1 - \frac {v^2}{c^2})}. \end{displaymath}

Druhý plavec plave podél stěny DZ2 kolmo ke směru rychlosti v. Velikost jeho rychlosti cy vzhledem k voru neznáme. Jelikož však rychlost plavce vzhledem k vodě je c a rychlost vody vzhledem k voru je -v, je hledaná rychlost cy určena vektorovým součtem rychlostí -v a c. Odtud dostáváme

cy2 = c2 - v2

a
\begin{displaymath}t_{2} = 2t_{0} = \frac { 2l_{0} }{ c_{y} } = \frac { 2l_{0... ...v^2 }} = \frac {2l_{0}}{ c \sqrt {1 - \frac {v^2}{c^2} } }. \end{displaymath}

Všimněme si, že oba plavci se pohybují v soustavě spojené s vodou stejnými rychlostmi po různých dráhách, zatímco v soustavě voru se pohybují různými rychlostmi po stejných dráhách. Příklad s vorem je modelovým příkladem k Michelsonovu pokusu.

Příklady k procvičení - Úvodní pojmy

Začátek stránky
předchozí - Obsah - další
Příklady - k pochopení / k procvičení / řešení - Úvodní pojmy - Galileiho transformace - Michelsonův pokus - Postuláty - Relativnost současnosti - Dilatace času - Kontrakce délky - Lorentzova transformace - Skládání rychlostí - Dynamika

Speciální teorie relativity, Jaroslav Joch © 2000