Příklady k pochopení
předchozí - Obsah - další
Příklady - k pochopení / k procvičení / řešení - Úvodní pojmy - Galileiho transformace - Michelsonův pokus - Postuláty - Relativnost současnosti - Dilatace času - Kontrakce délky - Lorentzova transformace - Skládání rychlostí - Dynamika

Galileiho transformace

1. Za deset sekund od okamžiku, kdy se souřadnicové osy inerciálních soustav K ´ a K ztotožnily, vznikla v bodě o souřadnicích x´ = 6 m, y´ = 2 m a z´ = 3 m jiskra. Jaké jsou souřadnice této události v soustavě K, jestliže soustava K ´ se pohybuje vzhledem k soustavě K v kladném směru osy x konstantní rychlostí o velikosti v = 7 m.s-1?

Řešení
Dosazením do Galileiho transformačních rovnic dostáváme
x = x´ + vt´ = 6 m + 7.10 m = 76 m;
y = y´ = 2 m;
z = z´ = 3 m;
t = t´ = 10 s.


2. Z letadla, které se pohybuje vzhledem k Zemi po vodorovné přímce konstantní rychlostí v, je v čase t = 0 vypuštěno těleso. Vyjádřete závislost souřadnic x a y padajícího tělesa na čase t v soustavě K spojené se Zemí a pak pomocí Galileiho transformace v soustavě K ´ spojené s letadlem. Jak se pohybuje těleso vzhledem k letadlu? Odpor vzduchu zanedbejte.

Řešení
Z hlediska pozorovatele v soustavě K lze pád tělesa při g = konst. označit za vodorovný vrh, pro který platí známé rovnice
x = vt a y = 1/2 gt2. Z hlediska pozorovatele v soustavě K ´ spojené s letadlem má těleso v libovolném okamžiku t´= t souřadnice a , které určíme ze souřadnic x a y užitím Galileiho transformace:
x´= x - vt = vt - vt = 0,
y´= y = 1/2 gt2.
Tyto dvě rovnice vyjadřují skutečnost, že z hlediska pozorovatele v soustavě K ´ spojené s letadlem padá těleso volným pádem ve směru osy .


3. Soustava K ´ se pohybuje vzhledem k jiné inerciální soustavě K rovnoměrně přímočaře rychlostí v (zde jde o velikost rychlosti, ne o vektor). V soustavě K ´ nechť se pohybuje v kladném směru osy těleso P rovnoměrným přímočarým pohybem. Rychlost tělesa P vzhledem k soustavě K ´ označíme . Užitím Galileiho transformace dokažte, že vzhledem k soustavě K má těleso P rychlost u = u´ + v.

Řešení
Předpokládejme, že v čase t = t´ = 0 souřadnicové osy obou soustav K a K ´ splývají a že těleso P je v jejich společném počátku (obr. vlevo). Za dobu t přejde těleso rovnoměrným pohybem do nějakého bodu A a urazí přitom vzhledem k soustavě K ´ dráhu a vzhledem k soustavě K dráhu x (obr. vpravo). Průchod tělesa bodem A je událost, která má v soustavě K ´ souřadnice , a v soustavě K souřadnice x, t.


Z definice rychlosti rovnoměrného přímočarého pohybu a užitím Galileiho transformace dostáváme hledanou rychlost vzhledem k soustavě K:

\begin{displaymath}u = \frac{x}{t} = \frac{ (x' + vt') }{t'} = \frac{x'}{t'} + v = u' + v.\end{displaymath}


4. Ze zkušenosti víme, že při rychlostech v mnohonásobně menších než rychlost světla c je hmotnost tělesa nezávislá na rychlosti, kterou se pohybuje vůči pozorovateli. Hmotnost tělesa tedy považujeme v klasické fyzice za konstantní veličinu. Dokažte, že pak také síla určená vztahem F = ma je v obou vztažných soustavách stejná.

Řešení
Předpokládejme, že se inerciální soustava K ´ pohybuje vzhledem k inerciální soustavě K rovnoměrně přímočaře rychlostí v. V soustavě K´ nechť na těleso o hmotnosti m´ působí konstantní síla F´, která mu uděluje zrychlení . Podle druhého pohybového zákona pak platí F´= ma = m´a´= F´, neboť při rychlostech mnohem menších než c je m = m´ a také a = a´. Síla působící na určité těleso má tedy v různých inerciálních vztažných soustavách stejnou velikost, jestliže při tom platí, že vzájemná rychlost obou soustav je mnohem menší než rychlost světla c.


5. Na střeše posledního vagónu vlaku pohybujícího se rovnoměrně přímočaře stojí střelec, který se pokouší zasáhnout výstřelem z pušky lokomotivu. Předpokládejme, že rychlost vlaku je stejná jako rychlost střely. Může tato střela zasáhnout lokomotivu jedoucího vlaku.

Řešení
Kdyby se vlak nepohyboval, pak by střela samozřejmě mohla lokomotivu zasáhnout. Jestliže se vlak pohybuje rovnoměrně přímočaře, pak podle mechanického principu relativity musí každý mechanický děj v soustavě pohybujícího se vlaku probíhat stejně jako ve vlaku stojícím. Proto můžeme s jistotou říci, že střela opět může lokomotivu zasáhnout.

Úlohu bychom mohli také řešit v soustavě souřadné spojené se Zemí. Střela pak má vzhledem k vlaku rychlost v, vlak vzhledem k Zemi také rychlost v a podle klasického zákona skládání rychlostí má potom střela vzhledem k Zemi rychlost 2v. Protože se vlak pohybuje vzhledem k Zemi pouze rychlostí v, může střela lokomotivu zasáhnout.

Příklady k procvičení - Galileiho transformace

Začátek stránky
předchozí - Obsah - další
Příklady - k pochopení / k procvičení / řešení - Úvodní pojmy - Galileiho transformace - Michelsonův pokus - Postuláty - Relativnost současnosti - Dilatace času - Kontrakce délky - Lorentzova transformace - Skládání rychlostí - Dynamika

Speciální teorie relativity, Jaroslav Joch © 2000