Příklady k pochopení
předchozí - Obsah - další
Příklady - k pochopení / k procvičení / řešení - Úvodní pojmy - Galileiho transformace - Michelsonův pokus - Postuláty - Relativnost současnosti - Dilatace času - Kontrakce délky - Lorentzova transformace - Skládání rychlostí - Dynamika

Kontrakce délky

1. Na kosmické lodi vzdalující se od Země konstantní rychlostí je umístěna ve směru pohybu tyč o vlastní délce 1 m.
a) Jaká je délka této tyče pro pozorovatele na Zemi, jestliže se loď vzdaluje rychlostí 0,1c?
b) Je možné, aby tyč, která má na kosmické lodi délku 1 m, měla pro pozorovatele na Zemi délku 1 mm?

Řešení
a) Vlastní délka tyče je l0 = 1 m.
Délka této tyče vzhledem k Zemi je $ l = \frac{1}{\gamma}l_{0} = 0,995.1 m = 0,995 m.$

b) Z rovnice $ l = \frac{1}{\gamma}l_{0}$, kde l =10-3 m a l0 = 1 m, dostáváme
$ \gamma = \frac{l_{0}}{l} = \frac{1 m}{10^{-3} m} = 10^{3}$ a pomocí tabulek pak $ 1 - \frac{v}{c} = 5.10^{-7}.$ Odtud vyplývá, že $ v = c - 5.10^{-7}c \doteq c - 1,5.10^{2} m.s^{-1}.$ Tyč, která má na kosmické lodi délku 1 m, má vzhledem k Zemi délku 1 mm, jestliže se pohybuje rychlostí jen o 150 m.s-1 menší, než je rychlost světla.

2. V letadle letícím rychlostí 1 000 km.h-1 leží ve směru jeho letu tyč o vlastní délce 1 m.
Jaká je délka této tyče vzhledem k Zemi?

Řešení
Pro rychlost $v = 1 000 km.h^{-1} \doteq 0,3 km.s^{-1} \doteq 10^{-6}c$ dostáváme
$ \frac{1}{\gamma} = 1 - 5.10^{-13}.$ Hledaná délka l je tedy

\begin{displaymath}l = \frac{1}{\gamma}l_{0} = (1 - 5.10^{-13}). 1 m = 0,999 999 999 999 5 m \doteq 1 m. \end{displaymath}

Délka tyče vzhledem k Zemi je tedy s velkou přesností opět 1 m. Příklad ukazuje, že kontrakce délek se při rychlostech dopravních prostředků prakticky neprojevuje. Tím lze vysvětlit, proč si každý z nás vytváří již v mládí představu o absolutnosti délky.

3. Délku pohybujícího se vlaku můžeme změřit také tak, že změříme dobu Dt, po kterou kolem nás vlak projíždí stálou rychlostí v, a délku vlaku pak vypočítáme z rovnice l = vDt. Využijte tohoto způsobu měření délky k odvození vztahu pro kontrakci délek.

Řešení
Označme vztažnou soustavu, v níž je pozorovatel s hodinami H, symbolem K, a klidovou vztažnou soustavu tyče označme K ´. Tyč, která se pohybuje vzhledem k soustavě K rychlostí v, má v této soustavě délku l = vDt.
Z hlediska pozorovatele v soustavě K ´ je tyč v klidu a hodiny H se pohybují od koncového bodu tyče B k počátečnímu bodu A rychlostí -v. Při tom urazí dráhu l0 = vDt´ kde l0 je vlastní délka tyče. Jaký vztah je mezi časovými intervaly Dt a Dt´? Při pohybu tyče vzhledem k soustavě K projde kolem hodin H nejdříve bod B a potom bod A. Obě události jsou v této soustavě soumístné a časový interval mezi těmito událostmi Dt změříme na hodinách H, které jsou v soustavě K v klidu. Proto je Dt vlastní čas, který uplyne mezi danými událostmi. Veličina Dt´ je časový interval mezi stejnými událostmi měřený v soustavě K ´, vzhedem k níž se hodiny H pohybují. V klasické fyzice by platilo Dt = Dt´, ve speciální teorii relativity však mezi nimi platí vztah Dt´ = gDt. Pro poměr délek l a l0 pak z předchozích rovnic dostáváme

\begin{displaymath}\frac{l}{l_{0}} = \frac{v\triangle t}{v\triangle t'} = \frac{\triangle t}{\triangle t'} = \frac{1}{\gamma} \end{displaymath}

a odtud
\begin{displaymath}l = \frac{1}{\gamma}l_{0} = l_{0}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} }. \end{displaymath}

Z příkladu vyplývá, že i při odlišných způsobech měření délky tyče dostaneme tentýž vztah pro kontrakci délek.

4. Těleso, které má v klidové soustavě tvar krychle, se pohybuje ve směru osy x rovnoměrně přímočaře rychlostí v kolmou na stěnu krychle. Velikost rychlosti krychle je v = 0,95c, klidová délka její hrany a0 = 1 m. Určete objem tělesa ve vztažné soustavě K, vzhledem k níž se těleso pohybuje rychlostí v.

Řešení
Krychle má v klidové vztažné soustavě K ´ objem V0 = a03. Hrana tělesa ve směru jeho pohybu je v soustavě K kratší než v soustavě K ´ a u příčných rozměrů kontrakce nenastává. Z hlediska pozorovatele v soustavě K je tedy pohybující se těleso kvádr o objemu V = abc. Poněvadž a = a0, b = a0 a $c = \frac{1}{\gamma}a_{0}$, je hledaný objem kvádru

\begin{displaymath}V = abc = \frac{1}{\gamma}a_{0}^{3} = \frac{1}{\gamma}V_{0} = 0,312 m^{3}. \end{displaymath}

Zpříkladu vyplývá, že tvar tělesa a jeho objem jsou vzhledem k volbě vztažné soustavy relativní.

5. Světelné hodiny o délce l0 jsou orientovány paralelně ke směru svého pohybu a pohybují se vzhledem k soustavě K ve směru osy x rychlostí v. Vypočtěte periodu T0 světelných hodin v jejich klidové soustavě K ´ a periodu T těchto hodin v soustavě K. Jaký je vztah mezi těmito periodami?

Řešení
Pro pozorovatele v soustavě K ´ pohybujícího se společně se světelnými hodinami se světlo dostane od zrcátka Z1 k zrcátku Z2 a nazpět za dobu $T_{0} = \frac{2l_{0}}{c}$, kde l0 je vlastní délka světelných hodin. Z hlediska pozorovatele v soustavě K, vzhledem k němuž se hodiny pohybují rychlostí v, mají světelné hodiny kratší délku $ l = l_{0}\sqrt{1 - \beta^{2}}$. Za dobu t1, za kterou světlo přejde od zrcátka Z1 k zrcátku Z2 , se hodiny posunou o vt1, takže světelný paprsek urazí ve směru pohybu hodin dráhu

ct1 = l + vt1.

Dobu, za kterou se vrátí od zrcátka Z2 k zrcátku Z1, označíme t2. Za tuto dobu se zrcátko Z1 posune vstříc vracejícímu se paprsku o dráhu vt2, takže světlo urazí kratší dráhu

ct2 = l - vt2.

Perioda T světelných hodin vzhledem k soustavě K je tedy
\begin{displaymath}T = t_{1} + t_{2} = \frac{l}{c-v} + \frac{l}{c+v} = \frac{2l}... ...eta^{2}} } = \frac{\frac{2l_{0}}{c} }{\sqrt{1-\beta^{2}} }. \end{displaymath}

Porovnáním period T a T0 dostáváme pak
\begin{displaymath}T = \frac{T_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}} }. \end{displaymath}

Odvozený vztah mezi periodami T a T0 je stejný jako vztah pro světelné hodiny pohybující se kolmo ke své ose. To je však samozřejmé, neboť podle principu relativity se všechny hodiny umístěné v soustavě K ´ musí v soustavě K zpomalovat stejně. Tento vztah musí ze stejného důvodu platit i pro světelné hodiny, jejichž osa svírá s osou x libovolný úhel. V opačném případě by pozorovatel v uzavřené soustavě K ´ mohl porovnáním chodu různě orientovaných hodin zjistit, že se jeho soustava pohybuje rovnoměrně přímočaře, což by bylo v rozporu s principem relativity.

6. Vysvětlete výsledek Michelsonova pokusu z hlediska speciální teorie relativity. Při tom volte za vztažnou soustavu nejprve Zemi a pak libovolnou jinou inerciální vztažnou soustavu, v níž se Michelsonův interferometr pohybuje ve směru svého ramena.

Řešení
Připomeňme si, že Michelsonův přístroj je v podstatě dvojice světelných hodin s osami navzájem kolmými. Výklad Michelsonova pokusu v zemské vztažné soustavě jsme již podali. Obě ramena interferometru mají vzhledem k Zemi stejnou délku l0, takže světlo, které se šíří ve směru obou ramen stejnou rychlostí c, se vrátí po odrazu od obou zrcátek zpět za stejně dlouhou dobu $ \frac{2l_{0}}{c}. $ Pohybuje-li se Michelsonův interferometr vzhledem k libovolné vztažné soustavě K ve směru ramena MZ1, pak délka tohoto ramena v soustavě K je

\begin{displaymath}l = l_{0}\sqrt{1 - \beta^{2}}, \end{displaymath}

délka druhého ramena MZ2 se nemění. Světelný paprsek se šíří vzhledem k soustavě K rychlostí c a dráhu v ramenu MZ1 směrem k zrcátku a nazpět urazí za dobu
\begin{displaymath}T_{1} = \frac{2l_{0}}{c(\sqrt{1 - \beta^{2}})}, \end{displaymath}

vypočtenou již v předcházejícím příkladu. Světlo v druhém ramenu MZ2 urazí vzhledem k soustavě K dráhu DZ'2D'' za dobu T2, pro niž podle Pythagorovy věty platí
\begin{displaymath}\Bigl(c\frac{T_{2}}{2} \Bigr)^{2} = \Bigl(v\frac{T_{2}}{2} \Bigr)^{2} + l_{0}^{2} \end{displaymath}

a odtud plyne
\begin{displaymath}T_{2} = \frac{2l_{0}}{c \sqrt{1 - \beta^{2}} }. \end{displaymath}

Porovnáním obou výrazů dostáváme T1 = T2. Oba paprsky se vrátí současně.

7. Vysvětlete, zda kosmonaut na kosmické lodi pohybující se vzhledem k Zemi rychlostí blízkou rychlosti světla může pozorovat u předmětů rozmístěných na lodi kontrakci jejich podélných rozměrů.

Řešení
Předměty na kosmické lodi jsou vzhledm k ní buď v klidu, anebo se pohybují jen velmi malou rychlostí. Ze vztahu pro kontrakci délek

\begin{displaymath}l = l_{0} \sqrt { 1 - \frac {v^{2}}{c^{2}} }. \end{displaymath}

pak vyplývá l = l0, tzn. že pro pozorovatele na lodi kontrakce délek u předmětů v lodi rozmístěných nenastává. Stejný závěr vyplývá z principu relativity, neboť měření délek předmětů, které jsou vzhledem k lodi v klidu, musí na lodi probíhat stejně jako obdobné měření v zemské laboratoři.

8. Dvě rovnoběžné tyče MN a M´N´ mají stejnou vlastní délku l0 = 1 m. Tyč MN je v klidu vzhledem k soustavě K, tyč M´N´ se vzhledem k této soustavě pohybuje rychlostí o velikosti v = 0,6c. Určete časový interval, který uplyne v soustavě K mezi ztotožněním levých a pravých konců obou tyčí.

Řešení
Samozřejmě platí l0 - 1 = vDt. Odtud dostáváme

\begin{displaymath}\triangle t = \frac{l_{0} - l}{v} = \frac{l_{0} - l_{0}\sqrt{... ...{1(1 - 0,8)}{0,6.3.10^{8}} s \doteq 1,1.10^{-9} s = 1,1 ns. \end{displaymath}

Mezi ztotožněním levých a pravých konců obou tyčí uplyne časový interval 1,1 ns.

Příklady k procvičení - Kontrakce délky

Začátek stránky
předchozí - Obsah - další
Příklady - k pochopení / k procvičení / řešení - Úvodní pojmy - Galileiho transformace - Michelsonův pokus - Postuláty - Relativnost současnosti - Dilatace času - Kontrakce délky - Lorentzova transformace - Skládání rychlostí - Dynamika

Speciální teorie relativity, Jaroslav Joch © 2000