Dynamika
předchozí - Obsah - další
Hmotnost - Hybnost - Energie a hmotnost - Kinetická energie

Relativistický vztah pro kinetickou energii

Kinetická energie tělesa je ve speciální teorii relativity určena podobně jako v klasické fyzice prací, kterou je potřeba vynaložit k tomu, aby těleso změnilo svůj pohybový stav. Získá-li rychlost v mnohem menší než rychlost světla c lze kinetickou energii získanou tělesem vypočítat ze vztahu

\begin{displaymath}E = W = Fs = m_{0}a \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} m_{0}v^2 \end{displaymath}

Toto odvození však nelze použít ve speciální teorii relativity při rychlostech blízkých c, neboť hmotnost tělesa se s rostoucí rychlostí v dané vztažné soustavě zvětšuje, takže těleso, na které působí konstantní síla, nekoná rovnoměrně zrychlený pohyb. Vztah pro kinetickou energii tělesa lze však i v tomto případě odvodit výpočtem práce, kterou je potřeba vykonat, aby se těleso uvedlo do pohybu s rychlostí v. Toto je však matematicky náročnější. Zvolíme proto jiný postup.

Celková energie tělesa E = mc2 se rovná součtu klidové energie tělesa E0 = m0c2 a jeho kinetické energie Ek. Z toho vyplývá, že

\begin{displaymath}E_{k} = E - E_{0} = mc^2 - m_{0}c^2 = \gamma m_{0}c^2 - m_{0}c^2 = m_{0}c^2(\gamma - 1). \end{displaymath}

Výsledný vztah ve tvaru
\begin{displaymath}E_{k} = m_{0}c^2 \biggl(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } } - 1 \biggr) = m_{0}c^2 (\gamma - 1) \end{displaymath}

nazýváme relativistický vztah pro kinetickou energii. Je-li $v \ll c$, je
\begin{displaymath}\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } } \approx 1 + \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2} \end{displaymath}

(podle přibližného vzorce $ \frac{1}{\sqrt{1 - x} } \approx 1 + \frac{1}{2}x $ ) a z relativistického vztahu pro kinetickou energii tak dostáváme
\begin{displaymath}E_{k} \approx m_{0}c^2 \Biggl(1 + \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2} - 1 \Biggr) = \frac{1}{2}m_{0}v^2. \end{displaymath}

Klasický vztah pro výpočet kinetické energie $E_{k} = \frac{1}{2} m_{0}v^2$ platný při $v \ll c$ je tedy zvláštním případem obecného relativistického vztahu pro kinetickou energii.

Příklady k lepšímu pochopení - Příklady k procvičení

Začátek stránky
předchozí - Obsah - další
Hmotnost - Hybnost - Energie a hmotnost - Kinetická energie

Speciální teorie relativity, Jaroslav Joch © 2000